Christoffel sembolünü açıklamanın en basit yolu, onlara düz uzayda bakmaktır. Normalde, üç düz boyutta bir skalerin laplasiyeni şöyledir:

$$ \ nabla ^ {a} \ nabla_ {a} \ phi = \ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ kısmi x ^ {2}} + \ frac {\ kısmi ^ {2} \ phi} {\ kısmi y ^ {2}} + \ frac {\ kısmi ^ {2} \ phi} {\ kısmi z ^ {2} } $$

Ancak, $ (x, y, z) $ koordinat sisteminden $ (r, \ theta, z) $ silindirik koordinatlarına geçersem durum böyle olmaz. Şimdi laplacian şu hale gelir:

$$ \ nabla ^ {a} \ nabla_ {a} \ phi = \ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partly r ^ {2}} + \ frac {1} {r ^ {2}} \ left (\ frac {\ partici ^ {2} \ phi} {\ partial \ theta ^ {2}} \ right) + \ frac {\ kısmi ^ {2 } \ phi} {\ kısmi z ^ {2}} - \ frac {1} {r} \ left (\ frac {\ partic \ phi} {\ partly r} \ right) $$

Unutulmaması gereken en önemli şey, yukarıdaki son terimdir - artık sadece $ \ phi $ 'ın ikinci türevlerine sahip değilsiniz, aynı zamanda artık $ \ phi $' ın ilk türevini içeren bir teriminiz de var. Bu tam olarak bir Christoffel sembolünün yaptığı şeydir. Genel olarak, Laplacian operatörü şu şekildedir:

$$ \ nabla_ {a} \ nabla ^ {a} \ phi = g ^ {ab} \ partial_ {a} \ partial_ {b} \ phi - g ^ {ab} \ Gamma_ {ab} {} ^ {c} \ partial_ {c} \ phi $$

Silindirik koordinatlar söz konusu olduğunda, ekstra terimin yaptığı şey, koordinatın sistem türev operatörü açısından homojen değildir - sabit $ r $ değerindeki yüzeyler, başlangıç ​​noktasına yakın olduklarından çok daha büyüktür. Eğri bir uzay (zaman) durumunda, Christoffel sembollerinin yaptığı şey homojensizliği / eğriliği / boşluğun (zamanın) kendisi ne olursa olsun açıklamaktır.

Eğrilik tensörlerine gelince - birbirlerinin kasılmalarıdır. Riemann tensörü basitçe türev operatörlerinin bir anti-komütatörüdür - $ R_ {abc} {} ^ {d} \ omega_ {d} \ equiv \ nabla_ {a} \ nabla_ {b} \ omega_ {c} - \ nabla_ {b } \ nabla_ {a} \ omega_ {c} $. Bir vektör / tek formun paralel ötelemesinin, 1. yöne ve sonra 2. yöne veya ters sırada giderseniz ne kadar farklı olduğunu ölçer. Riemann tensörü üzerinde çalışmak zor bir şey, ancak dört endeksi var. İlk iki ve son iki endekste antisimetrik olduğu ortaya çıktı, bu yüzden aslında sadece tek bir daralma var (kasılma = metrik tensörle çarp ve tüm endekslerin toplamı), $ g ^ {ab} R_ {acbd} = R_ {cd} $ ve bu Ricci tensörünü tanımlar. Ricci skaleri bunun sadece bir başka daraltmasıdır, $ R = g ^ {ab} R_ {ab} $.

Şimdi, Özel Görelilik nedeniyle, Einstein maddenin, madde dağılımının baskılarını, akımlarını ve yoğunluklarını birleştiren iki endeksli bir tensörle temsil edilmesi gerektiğini zaten biliyordu. Bu madde dağılımı, eğer fiziksel olarak anlamlıysa, bir süreklilik denklemini de sağlamalıdır: $ \ nabla_ {a} T ^ {ab} = 0 $, temel olarak maddenin dağılımda ne yaratıldığını ne de yok edildiğini ve zaman oranının bir akımdaki değişim, basınç gradyanıdır. Einstein alan denklemlerini yazarken, bunu da karşılayan metrik tensörden yaratılan bir miktarın (buna $ G ^ {ab} $ diyelim) $ T ^ {ab} $ 'a eşit olmasını istedi. Ancak bu, $ \ nabla_ {a} G ^ {ab} = 0 $ olduğu anlamına gelir. Metrik tensörün birinci ve ikinci türevlerini içeren böyle bir terim kombinasyonu olduğu ortaya çıktı: $ R_ {ab} - \ frac {1} {2} Rg_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} $, burada $ \ Lambda $ keyfi bir sabittir. Bu, Einstein'ın alan denklemi için seçtiği şeydi.

Şimdi, $ R_ {ab} $, stres-enerji tensörü ile aynı sayıda göstergeye sahip. Dolayısıyla, $ R_ {ab} $ 'ın ne anlama geldiğine elden bakmanın bir yolu, size maddenin varlığından kaynaklanan "eğriliğin kısmını" söylediğini söylemektir. Bu, $ R_ {abc} {} ^ {d} $’ın $ R_ {ab} $’ın bağlı olmadığı kalan bileşenlerini nerede bırakır? Pekala, en basit yol (TAMAMEN doğru değil, ama en basit) bunlara yerçekimi alanının dinamiklerinden türetilen eğriliğin parçaları demektir - örneğin yalnızca yerçekimsel radyasyonu içeren boş bir uzay-zaman $ R_ {ab } = 0 $ ama aynı zamanda $ R_ {abc} {} ^ {d} \ neq 0 $ olacaktır. Sadece bir kara delik içeren bir uzay-zaman için aynı. $ R_ {abc} {} ^ {d} $ 'ın bu ekstra bileşenleri, uzay zamanın ne içerdiğinden bağımsız olarak size uzay-zamanın yerçekimi dinamikleri hakkında bilgi verir.

Bu uzun sürüyor, bu yüzden bunu burada bırakacağım.

Bağlantının fiziksel bir önemi vardır - çekim alanıdır. Ölçü, yerçekimsel potansiyeldir.

Christoffel sembollerinin tensör olmaması, anlamlı oldukları gerçeğini değiştirmez. Bir koordinat dönüşümü ile herhangi bir noktada kaybolmaları sağlanabilir, ancak GR'de bu sadece serbestçe düşen bir koordinat çerçevesi seçerek yerçekimi alanını ortadan kaldırabileceğinizi söylüyor. Bu, yerçekimi alanıyla ilgili fiziksel bir ifadedir.

Christoffel sembollerinin dönüşüm yasası iyi tanımlanmıştır ve soyut bağlantının matematiksel kavramı hakkında düşünmenin bir yolu, yalnızca farklı olduklarında iki farklı sembol tanımını tanımlamaktır. koordinat dönüşümü ile. Soyut bağlantının bir noktada bir değeri yoktur, ancak döngüler üzerinde holonomi değerlerine sahiptir.

Genel bir kovaryant teoride yerel ölçü değişmez gözlemlenebilirler yoktur, bu nedenle koordinatları dönüştüren şeyleri yapmak zorundasınız. metrik tensör ve bağlantı gibi.

Christoffel sembollerinin tensör olmadıklarından fiziksel bir anlamı olmadığını unutmayın. $ \ Gamma $ değerinin tamamı yok olacak şekilde yerel koordinatları seçmek her zaman mümkündür.

Ancak matematiksel anlamı, bir psödotensör oluşturduklarıdır. Teknik olarak, iki kovaryant türevimiz varsa $ \ nabla_1 $ ve $ \ nabla_2 $ o zaman aralarındaki fark $ \ Gamma: = \ nabla_1 - \ nabla_2 $ bazı güzel matematiksel özellikleri karşılar (yani çok odaklı bir operatördür) ve herhangi bir nesne sadece yereldir ve bir tensörle temsil edilebilir.

$ \ nabla_1 $ için genellikle ilgilendiğimiz kovaryant türevi alırız (örneğin, bir metrik tensör $ tarafından indüklenen kaybolan torsiyonlu bir metrik kovaryant türev g $). $ \ Nabla_2 $ için iki genel (ve yaygın olarak kullanılan) seçenek vardır. Biri, koordinat ortak değişken türevi $ \ partial $ kullanılabilir (ki bu $ {\ partial \ over \ partiye x} $ koordinat vektörünü ve covector alanlarını $ {\ rm d} x $ anihilat eder ve bu da $ \ nabla = \ partial + \ Gamma_ {Christoffel} $. Diğer seçenek (bir öncekini genelleştiren), bazı tetrad $ e $ 'ı ortadan kaldıran bir kovaryant türevidir $ \ bar \ kısmi $ (önceki durumda tetrad $ {\ rm d} x $ çok spesifiktir; genel tetrad için ilişkili koordinatların olması gerekmez). Bu tetrad biçimciliğine yol açar ve $ \ nabla = \ bar \ partic + \ gamma $ yazılır, burada $ \ gamma $, Ricci dönüş katsayılarıdır.

Riemann tensörüne gelince, bir kez daha çok odaklı bir operatörün, yani eğrilik operatörü $ R (u, v) $ 'ın tensörsel bir temsilidir. Bu, iki vektör alanını alan (yön olarak düşünülür) ve bu yönler boyunca uzay eğrilerinin ne kadar olduğunu size söyleyen ultra odaklı bir operatör döndüren bir kara kutudur. Daha doğrusu, bunu sonsuz küçük çokgen $ 0 \ to u \ to u + v \ to v \ to [u, v] \ to 0 $ boyunca paralel olarak taşırsanız bir vektörle ne olacağını söyler; iki alanın kapatılmasına gerek olmaması dışında bir kare olarak düşünülebilir ve bu onların komütatörleri $ [u, v] $ tarafından ölçülür. Böylece, bunu $ R (e_a, e_b) e_c = {R_ {abc}} ^ d e_d $ olarak ifade edebilirsiniz ve normal Riemann tensörünü elde edersiniz.

Şimdi, (a) Riemann tensörünün simetrisi, iki eşitsiz kasılma mümkündür. Bunlardan biri $ {R_ {abc}} ^ c $ izidir ve bu, Levi-Civita bağlantısından türetilen Riemann tensörü için önemsiz bir şekilde sıfır olarak görülebilir (daha genel olarak hacim öğelerini koruyan bağlantılar için). Diğer kısaltma, $ {R_ {abc}} ^ a $ Ricci tensörünü verir. Bu, Levi-Civita bağlantısı için simetrik olacaktır (çünkü Riemann tensörünün izi sıfırdır ve burulma ortadan kalktığı için).

Ricci tensörünün yararlı (oldukça matematiksel) bir görünümü, "laplacian" gibidir. ", $ R_ {ij} \ sim - {1 \ over 2} \ Delta g_ {ij} $ ve ısı akışlarına bir benzetme yaparak bu, Poincaré varsayımı çalışmasında kullanılan temel bir araç olan Ricci akışlarını ilişkilendirir.

Şimdi, Ricci tensörünün geometrik anlamı, hacim elemanının normal jeodezik koordinatlarda deformasyonunu ölçmesidir. Bunlar, mahalleyi jeodezik akışlarla parametrelendirirseniz herhangi bir nokta etrafında elde edebileceğiniz koordinatlardır. Dolayısıyla Ricci tensörü, jeodeziklerin belirli bir yöndeki bir nokta etrafında nasıl daha yoğun veya daha seyrek olma eğiliminde olduğunu ölçer. Pozitif eğriliği olan kürenin nasıl daha az hacme sahip olduğunu düşünün çünkü jeodezikleri, jeodeziklerin ayrıldığı negatif eğriliğe sahip hiperbolik bir uzaydan (belirli bir çizgiye paralel sonsuz sayıda düz çizgi vardır) yakınsar (küredeki büyük dairelerdir). Özellikle, Ricci-flat manifoldlar (Einstein'ın sıfır kozmolojik sabitli denklemlerinin çözümleri olan) bu açıdan olağan Öklid uzayı gibi davranır. Küre ve hiperbolik uzayın analoglarını (yani, deSitter ve anti-deSitter uzayı) elde etmek için bunu Einstein manifoldlarına (sıfır olmayan kozmolojik sabitli vakum çözümleri) genellemeniz gerekir.

Çok şey var. bu konularda söylenecek daha çok şey var ama umarım bu size en azından biraz yardımcı olur.

Christoffel sembollerinin 'fiziksel anlamı'na gelince, fiziksel bir anlamlarının olmadığı bir anlam var, çünkü kodladıkları bilgi gerçekte uzayın eğriliği hakkında değil, koordinatın geometrisi hakkındadır. Uzayı tanımlamak için kullandığınız sistem.

Onlarla ilgili bir sezgiye gelince, kullanılan koordinatlarda sonsuz küçük değişiklikler için temel vektör alanlarının ne kadar değiştiğini kodlarlar. Bu nedenle düz bir uzayda (yani yerel olarak) onları sıfırlamak her zaman mümkündür: temel vektör alanlarının bir noktadan diğerine değişmediği bir koordinat sistemine dönüştürün.

Nasıl olduğunu bilmek için uzay-zaman eğrileri, metrik fonksiyonun noktadan noktaya nasıl değiştiğine bakabilirsiniz. Bunu görmek için, temel vektörlerin noktadan noktaya nasıl değiştiğine bakabilirsiniz (çünkü metrik tamamen temel vektörler tarafından belirlenir). Bu, Christoffel sembolünün kodladığı bilgidir.