Evet, evet. Başlangıç ​​koşullarını tam olarak belirleyebileceğiniz tamamen matematiksel bir dünyada, kaotik sistemler tamamen deterministiktir. Bu, evrimi hiçbir zaman tam olarak başlangıç ​​koşullarıyla belirlenemeyen, dalga fonksiyonu çökmesi olan bir kuantum sistemi gibi değildir.

Ancak pratikte, başlangıç ​​koşullarını asla tam olarak belirleyemeyiz (veya bilemeyiz). Dolayısıyla, başlangıç ​​koşullarında her zaman bir miktar belirsizlik olacaktır ve bir sistemin davranışını bu belirsizliğe verdiği yanıt açısından karakterize etmek mantıklıdır. Temel olarak, kaotik bir sistem, $ t = 0 $ anında durumdaki herhangi bir belirsizliğin, zaman ilerledikçe durumda katlanarak daha büyük belirsizliklere yol açtığı ve kaotik olmayan bir sistem, durumdaki herhangi bir ilk belirsizliğin olduğu sistemdir. uzaklaşır veya en azından zamanla sabit kalır.

Önceki (kaotik) durumda, başlangıç ​​koşullarını sonsuz kesinliğe kadar bilemediğimiz düşünüldüğünde, her zaman bir süre geçecektir. sistemin davranışı esasen anlamsız hale gelir - belirsizlik o kadar büyür ki durum uzayının çoğunu doldurur. Bu, gerçekten deterministik olmayan (örneğin, kuantum) bir sistemin davranışına etkili bir şekilde benzerdir, çünkü bu sistem hakkında tahminler yapma kabiliyetimiz sınırlıdır, bu nedenle bazı insanlar kaotik sistemleri deterministik olmayan olarak adlandırır.

Klasik mekanik, iki gövde için kapalı veya izole bir sistem olarak mükemmel bir şekilde bütünleştirilebilir. Bununla birlikte, daha önce, Newton'un gezegenlerin hareketine tam bir biçimde bir çözüm bulamadığını bulduğu yerde sorunların var olduğu bulundu. Tanrının güneş sistemini şimdi ve onları yeniden ayarlaması gerektiğine dair ünlü açıklamasını yaptı. Poincare, böyle bir çözümün olmadığını göstererek, güneş sisteminin istikrarına yönelik bir çözüm için İsveç ödülünü çözdü. Poincare, bunlarla ilgili ayırma ve tedirginlik yöntemleri geliştirdiği kaos teorisinin kapısını açan şey budur. Genel sistemler için Newton mekaniğinin entegre edilemez olduğu ortaya çıkıyor,

Üç veya daha fazla gövdeli sistemler için klasik mekanik, kapalı formda çözülemez. Herhangi bir $ N $ vücut problemi için kütle merkezi için 3, momentum için 3 $, açısal momentum için 3 $ ve enerji için bir denklem vardır. Bunlar sorunla ilgili 10 $ 'lık kısıtlamalardır. Bir N-cisim probleminin 6N $ serbestlik derecesi vardır. $ N ~ = ~ 2 $ için bu, çözümün 2 $ dereceli bir birinci integral tarafından verildiği anlamına gelir. Bu, Galois'in gösterdiği problemle karşılaşır ki, derecesi 5 $ veya daha yüksek olan herhangi bir kök sistemin genellikle cebirsel kökü yoktur. Diferansiyel denklemler için ilk integraller, bu diferansiyel denklemin çözümü boyunca sabit kalan fonksiyonlardır. Yani $ 8 $ çözümleri için $ p_8 (x) ~ = ~ \ prod_ {n = 1} ^ 8 (x ~ - ~ \ lambda_n) $, $ 8 $ farklı köklerle $ \ lambda_n $ sabit olan sekiz sıralı polinom vardır 8 $ 'lık çözümler boyunca. $ P_8 (x) ~ = ~ p_5 (x) p_3 (x) $ olduğundan, Galois teorisi olarak adlandırılan bir cebir dalı bize beşinci dereceden polinomların köklerini bulmak için genel bir cebir sistemine veya cebirsel bir çözüm kümesine sahip olmadığını söyler. . Bu, dörtten yüksek herhangi bir derece sisteminin genel olarak cebirsel olmadığı anlamına gelir. $ N $ -body probleminin kökündeki Galois teorisi bize $ N ~ \ ge ~ 3 $ için cebirsel bir çözüm olmadığını söyler.

Klasik mekanikteki bir problem, üç cisim için kaybolan payda problemidir. Bu bir Hamiltoniyen $ H (J, ~ \ theta) ~ = ~ H_0 (J, ~ \ theta) ~ + ~ \ epsilon H_1 (J, ~ \ theta) $ için $ J ~ = ~ (J_1, ~ J_2) $ ve $ \ theta ~ = ~ (\ theta_1, ~ \ theta_2) $. Burada $ J ^ \ prime $
$$ S (J ^ \ prime, ~ \ theta) ~ = ~ \ theta \ cdot J ^ \ prime ~ + ~ i \ epsilon \ sum_ değişkenine göre yazılmış bir üretici fonksiyon {n_1, n_2} {{H_ {1, n_1, n_2}} \ over {n_1 \ omega_1 (J ^ \ prime) ~ + ~ n_2 \ omega_2 (J ^ \ prime)}} e ^ {n_1 \ omega_1 (J ^ \ prime) ~ + ~ n_2 \ omega_2 (J ^ \ prime)} $$ rezonans koşulu $ n_1 \ omega_1 (J ^ \ prime) ~ + ~ n_2 \ omega_2 (J ^ \ prime) ~ = ~ 0 $ için ıraksak olacaktır. Bu rezonans koşulu, birçok kişinin güneş sisteminin rezonans koşullarında kararlı olamayacağını varsaymasına yol açtı. Yine de güneş sistemi neredeyse rezonans koşullarıyla doludur.

Gerçek hatta var olan rezonans koşullarının sayısı yoğun. Herhangi bir $ \ epsilon $ mahallesinde, rasyonel sayılara karşılık gelen sayılabilecek şekilde sonsuz sayıda olası rezonans koşulu olacaktır. Bir gezegenin yörüngesi sürüklendikçe, bu rezonans koşullarından geçecek ve kaotik bir şekilde tedirgin olacaktır. Dünya ve Jüpiter için 1/12 $ gibi basit rasyonel sayılar için 1003/12000 $ 'lık güçlü rezonansların meydana gelmesi beklenmelidir. Daha karmaşık rasyonel sayılar için, istikrarsızlığın daha zayıf olması beklenebilir. Diğer bir deyişle, frekansların oranı \ lq \ lq yeterince irrasyonelse \ rq \ rq $ ~ $ $$ \ Big | {{\ omega_1} \ over {\ omega_2}} ~ - ~ {m \ over s} \ Big | ~ > ~ {{k (\ epsilon)} \ over {s ^ {2.5}}}, ~ \ lim _ {\ epsilon ~ \ rightarrow ~ 0} k (\ epsilon) ~ \ rightarrow ~ 0 $$ yörünge daha kararlı. Dolayısıyla, basit bir rasyonel sayıya yakın bir "güçlü rezonans" koşulundan çıkarılan bir yörünge, basit bir rasyonel frekans oranına sahip bir yörüngeye yakın olan bir yörüngeden daha kararlı olacaktır.

Bu, Greenberg’in kaos teorisine Hamiltonyen yaklaşımının temelidir. Buna deterministik denir, çünkü diferansiyel denklemler zamanla ters yönde değişmez, bu nedenle bir parçacığın hareketi kesinlikle belirlenir. Ancak. o parçacığın başlangıç ​​koşullarında hafif bir varyasyon varsa, genel olarak, başlangıç ​​noktasından keyfi olarak uzağa gidebilir. Küçük $ \ delta z ~ = ~ (\ delta q, ~ \ delta p) $ değişkeni, $ \ lambda için $ \ delta z ~ \ rightarrow ~ exp (\ lambda t) \ delta z $ üstel eşlemiyle büyütülür $ Lyapunov üssü. Bir gövdenin başlangıç ​​koşullarının spesifikasyonundaki herhangi bir hata, bu hatanın artmasına neden olur. Algoritmik bir perspektiften bakıldığında, bir kesme, artan sayısal taşma hatalarıyla sonuçlanır. Dolayısıyla, bir parçacığın dinamikleri, onun dinamiklerini aslında doğa belirlese bile, bilgisayarla gelişigüzel doğrulukla geleceğe entegre edilemez.

W. Zurek bunu biraz daha ileri götürdü ve $ \ delta z $ 'nın Heisenberg belirsizlik ilkesi tarafından belirlendiği kuantum dalgalanmalarının nasıl olduğunu düşündü.

Vikipedi girişinden gelen aşağıdaki ifadenin terminolojiyi iyi bir şekilde açıkladığını düşünüyorum:

Kaos teorisi, fizik, ekonomi, biyoloji gibi birçok disiplinde uygulamaları olan uygulamalı matematikte bir çalışma alanıdır. ve felsefe. Kaos teorisi, başlangıç ​​koşullarına oldukça duyarlı olan dinamik sistemlerin davranışını inceler; halk arasında kelebek etkisi olarak adlandırılan bir efekt. Başlangıç ​​koşullarındaki küçük farklılıklar (sayısal hesaplamadaki yuvarlama hatalarından kaynaklananlar gibi), kaotik sistemler için büyük ölçüde farklı sonuçlara yol açarak uzun vadeli tahmini genel olarak imkansız hale getirir. 1 Bu bu sistemler deterministik olsa bile gerçekleşir, yani gelecekteki davranışları tamamen rastgele öğeler dahil edilmeden başlangıç ​​koşullarıyla belirlenir. [2] Başka bir deyişle, bu sistemlerin deterministik doğası onları tahmin edilebilir yapmaz. [3] Bu davranış, deterministik kaos veya sadece kaos olarak bilinir.

Kalın benim.

Kaosun, başlangıç ​​koşullarındaki küçük hatalar oldukça farklı çözümler sağladığında tamamen deterministik sistemlerle sonuçlandığını unutmayın. Sorunuzdaki ulaşılamaz olan, kaotik durumlarda (girdi parametrelerine son derece doğrusal olmayan yanıt) bilgisayar çözümlerinde bile çok küçük olacak, çünkü bilgisayar bitlerinden daha doğru olamaz.

Bunun, bu tür sistemlerin davranışını incelemek için matematiksel yöntem olmadığı anlamına gelmediğini de unutmayın. Var ve toplu olarak tahmin edilebilir. Örnek olarak, atmosfer ve okyanus akıntılarının girdi olarak toplu davranışını kullanan sinir ağı kaotik bir modelle iklimi inceleyen Tsonis ve diğerlerinin çalışmasını vereceğim.

Bence bu konuda bazı tartışmalar var, en azından Steven Strogatz'a göre. Dersinin izlediğim bir bölümünü açıklıyorum: Mükemmel şekilde bilinen, mükemmel deterministik yasalara sahip, tüm parçacıkların tüm konumlarının ve tüm kuvvetlerin bilindiği sistemler bile hala tahmin edilemez olabilir. Kaotik denen bu tür sistemlerdir.

Bu onun hakkındaki görüşü. Keşke videoya bir bağlantı verebilseydim ama bu benim sabit diskimde.

Bence bu hala havadaysa önemli bir tartışma, çünkü özgür irade kavramı için pek çok anlamı var. Felsefi olarak derin bir soru.

Benim bakış açımdan, yani sıradan bir insanın bakış açısına göre, Strogatz'ın görüşünü hayal etmek biraz zor görünüyor, ama yine de, o uzman.

Profesörünüzün determinismus ve hesaplanabilirliği karıştırmasından korkuyorum. Kaotik davranış, doğrusal olmayan bir ODE sisteminin bazı çözümlerinin bir özelliğidir.

Bununla birlikte, doğrusal olmayan herhangi bir ODE kesinlikle deterministiktir - ör. t0 zamanında X'in değerini bildiğinden, ODE, t0 + dt zamanında, keyfi bir doğrulukla deterministik olarak X'i hesaplamanıza izin verir. Bu yüzden genellikle deterministik kaostan bahsedilir.

Zorluklar istediğiniz zaman başlar t0'a artık sonsuz küçüklükte olmayan bir T anında veya başka bir deyişle herhangi bir t için ODE sistemini entegre etmek istediğinizde X'i bilmek. Bu sadece kaotik sistemler için sayısal olarak mümkündür ve burada üstel ıraksama özelliği (ilk koşullara duyarlılık) devreye girer. Aslında, başlangıç ​​koşullarının değerinde yapılan hata zamanla üssel olarak artacak ve doğru hesaplamanızı engelleyecektir. her zaman için kaotik değişkenin değeri. Ancak bu, determinismus sorunu değil, yalnızca bir hesaplanabilirlik sorunudur.

Fiziksel açıdan, hesaplanabilirlik sorunu, Heisenberg'in belirsizliği için sıfır olmayan bir değer dayatan belirsizlik ilişkisi nedeniyle asla çözülemeyecektir. başlangıç ​​koşullarının ölçüsü. Belirsizlik, QM tarafından izin verilen minimum değere eşitse, herhangi bir kaotik sistem için dinamik değişkenin değerinin belirsizliğinin dinamik değişkenin kendisiyle aynı büyüklük düzeyinde olacağı zamanı hesaplamak kolaydır. Bu sürenin ötesinde hiçbir kaotik değişken hesaplanamaz.

Örneğin, Dünya'nın kaotik yörünge parametreleri yaklaşık 10 milyon yıldan fazla bilinemez. Elbette, ama bu başka bir sorudur, yörünge parametrelerinin bilinemezliği, kararlı olabilen ancak olmaması gereken yörüngenin kendisinin bilinemezliğiyle eşanlamlı değildir. Bizim durumumuzda şanslıydık çünkü Dünya'nın yörünge parametrelerindeki kaosa rağmen, yörüngenin kendisi en az 4 milyar yıldır kararlı veya yarı kararlı.

Bir uyarı olarak, üstel yörüngelerin sapması, bir sistemin kaotik olması için gerekli ancak yeterli olmayan bir koşuldur. Örneğin bir değişken Y = exp (t), yakın yörüngelerin üstel ıraksama özelliğine sahiptir, ancak keyfi bir doğrulukla hesaplanabilir ve kaotik değildir.

Kaos Teorisinde öğrenilecek en önemli şey belki de deterministik denklemlerin öngörülemeyen dinamiklere yol açtığı fikridir. Her zaman mesele, ölçümleri pratik olarak doğru yapabilme meselesi değildir. Başlangıç ​​Koşullarındaki Sonsuz küçük fark, faz uzayındaki yollar arasındaki farkı üssel olarak birbirinden uzaklaştırır (jargon: Lyapunov Üssü, ayrıldıkları sıradır). Ve teorik olarak bile bunu öngörülemez hale getiren şey budur.