İkinci dereceden bir tensör, bir matrisle temsil edilebilir , tıpkı birinci dereceden bir tensörün bir dizi tarafından temsil edilebilmesi gibi. Ancak tensörün bileşenlerinin düzenlenmesinden daha fazlası vardır; Ayrıca dizinin temelde bir değişiklik olduğunda nasıl dönüştüğünü de eklememiz gerekir. Öyleyse tensör, belirli bir dönüşüm yasasını karşılayan n boyutlu bir dizidir.

Yani, evet, üçüncü dereceden bir tensör, ilişkili bir dönüşüm yasası ile birlikte 3 boyutlu bir sayı dizisi olarak temsil edilebilir. .

Matrisler genellikle ilk olarak öğrencilere $ \ mathbb {R} ^ n $ 'dan vektörler alarak ve bunları $ \ mathbb {R} ^ m $' daki vektörlerle eşleştiren doğrusal dönüşümleri temsil etmek için tanıtılır. Verilen bir doğrusal dönüşüm, $ \ mathbb {R} ^ n $ ve $ \ mathbb {R} ^ m $ için seçilen temel vektörlere bağlı olarak sonsuz sayıda farklı matrisle temsil edilebilir ve iyi tanımlanmış bir dönüşüm yasası kişinin yeniden yazmasına izin verir Her temel vektör seçimi için doğrusal işlem.

İkinci kademe tensörler oldukça benzerdir, ancak Öklid dışı (düz olmayan) mesafe metriklerinin dikkate alındığı uygulamalar için ortaya çıkan önemli bir fark vardır: genel görelilik gibi. 2. derece tensörler sadece $ \ mathbb {R} ^ n $ ile $ \ mathbb {R} ^ m $ 'ı eşlemekle kalmaz, aynı zamanda $ \ mathbb {R} ^ n $ veya $ \ mathbb'nin ikili uzaylarını da eşleyebilir {R} ^ m $. Tensörler için dönüşüm yasası, doğrusal operatörler için ilk öğrenilene benzer, ancak tensörün ikili boşluklar üzerinde hareket etme veya etmeme arasında geçiş yapmasına izin verme ek esnekliğine izin verir.

Öklid uzaklık ölçütleri için dual uzay ve orijinal vektör uzayının aynı olduğuna dikkat edin, bu nedenle bu ayrım bu durumda önemli değildir.

Dahası, 2. derece tensörler olabilir. sadece bir vektör uzayından diğerine haritalar gibi davranmayın. Tensör "daralmasının" çalışması (vektörler için iç çarpımın bir genellemesi), bir skaler üretmek için 2. seviye tensörlerin diğer ikinci seviye tensörler üzerinde hareket etmesine izin verir. Bu kasılma süreci, yüksek boyutlu tensörler için genelleştirilebilir ve farklı kademelerdeki tensörler arasında kasılmalara izin vererek farklı seviyelerde ürünler üretilmesini sağlar.

Burada yayınlanan başka bir cevabı tekrarlamak için, herhangi bir zamanda 2. derece tensör gerçekten temsil edilebilir. bir matris ile, bu basitçe bir sayfadaki sayıların satırları ve sütunları anlamına gelir. Yapmaya çalıştığım şey, ilk olarak vektör uzaylarından doğrusal operatörleri temsil eden matrisler ile tanımladığım biraz daha esnek nesneleri temsil eden matrisler arasında bir ayrım sunmaktır

Bir matris, 1 indeksi yukarı ve 1 aşağı indeksi olan ikinci sıra tensörün özel bir durumudur. Vektörlere, (vektörün üst endeksini tensörün alt endeksi ile daraltarak), kovektörlere (kovektörün alt endeksini tensörün üst endeksi ile daraltarak) ve genel olarak, vektörlere götürür. m üst / n-alt tensörü, yukarı endekslerden birine etki ederek m-üst / n-aşağıya, alt endekslerden birine etki ederek m-üst / n-aşağıya veya m-1'e alabilir -upper / n-1-low, bir üst ve bir alt endeksle sözleşme yaparak.

Tensörleri biliyorsanız matris gösteriminin faydası yoktur, tensör çarpımının çalışması artı bir daralma özel bir durumdur. aynı türde bir nesne üretir. Tensör gösterimi, doğru matematiksel nesneleri yapmak için vektörler hesabını ve doğrusal cebiri doğru bir şekilde genelleştirir.

Kesin olarak matrisler ve 2. derece tensörler aynı şey değildir, ancak fizikçilerin karşılaştığı çoğu pratik amaç için çalışan yakın bir karşılık vardır.

Matris, iki boyutlu bir sayı dizisidir (veya bir alan ya da halkadan alınan değerler). 2 aşamalı bir tensör, iki vektör uzayından, gerçek sayılar gibi bir alan üzerinden bu alana doğrusal bir haritadır. Vektör uzayları sonlu boyutluysa, her biri için bir temel seçebilir ve bir bileşen matrisi oluşturabilirsiniz. Matrisler ve 2. derece tensörler arasındaki bu ilişki bire birdir, bu nedenle onları aynı şey olarak kabul edebilirsiniz, ancak kesinlikle eşdeğerdirler.

Sonsuz boyutlu vektör uzayları vakaları oluşturabilirsiniz. alan gerçek sayılar olduğunda ve matrisler sonsuz sayıda bileşene sahip olabildiğinde bile karşılık gelen tensörler için matrisler açısından anlamlı bir temsilin mümkün olmadığı yerlerde. Bu örneklerden bazıları fizikle ilgilidir, ör. vektör uzayları, boyutları (kaybedilen terimlerle) sayılamayacak kadar sonsuz olan işlevler olduğunda. Bu nedenle, sadece bir fizikçi olsanız bile, dizilerin tensörleri ve matrislerinin gerçekte ne olduğu arasındaki farkı akılda tutmak iyi bir fikirdir.

Bu benim bir evcil hayvanım.Kariyerimin erken döneminde bir geometri uzmanıydım.Önceki tartışmaların çoğu doğrudur.Çeşitli derecelerden oluşan bir tensör doğrusal dönüşümlerdir.Ancak, bir tensör, seçilen koordinat sistemleri altında bir değişmezdir.

Bunun bir vektör olduğunu düşünmenin en kolay yolu, büyüklük ve yöndür ve yalnızca , bir koordinat sistemi seçildikten sonra bir dizi olarak ifade edilebilir.Benzer şekilde, 2. derece tensör yalnızca bir koordinat sistemi seçildiğinde bir matris olarak ifade edilebilir.

Bu nedenle, anistropik kristallerin stres enerjisi tensörü veya kırılma indisi tensörü gibi fizikte kullanılır.Bu koordinat değişmezliği, fiziksel özellikleri açıklamak için onu yararlı kılıyor.

Hayır.Bir matris, herhangi bir sayıda şey, sayılar listesi, semboller veya bir film adı anlamına gelebilir.Ama asla bir tensör olamaz.Matrisler yalnızca tensörlerin belirli temsilleri olarak kullanılabilir, ancak bu nedenle, vektörler üzerindeki basitçe çok doğrusal fonksiyonlar olan tensörlerin tüm geometrik özelliklerini belirsizleştirir.

$$ \ def \ cR # 1 {\ color {kırmızı} {# 1}} \ def \ cG # 1 {\ color {yeşil} {# 1}} $$

Çok benziyorlar ama ...

Bir rank-2 tensörünü, $ T_ {ij} $ dönüştürdüğümüzde, endekslerle ilgili genellikle kafa karışıklığı vardır. Matrisler 2. derece tensörleri temsil edebildiğinden, çarpmaya başlamak caziptir. Ancak dizin sıralaması çok önemlidir.

Şimdi, normal matris çarpımı, $ C = AB $ , A'nın ikinci dizini ve B'nin ilk dizini üzerinden toplamlar: $ C_ {ab} = A_ {a \ cR {c}} B _ {\ cR {c} b} $ , burada $ \ cR {c} $ toplama endeksidir ("kukla dizin").

B'nin ikinci dizinini kullanırsak, $ D_ {ab} = A_ {a \ cR {c}} B_ {b \ cR {c}} $ , sonra elde ettiğimiz şey $ D = AB ^ T $ olur.

Bir ders kitabında "T, R dönerken tensör gibi dönüşür" ifadesinin $ T_ {ab} \ rightarrow T '_ {ab} = R_ {a \ cR {c}} R_ {b \ cG {d}} T _ {\ cR {c} \ cG {d}} $ . Çok önemli bir şekilde bir R'nin ilk dizinde ve diğer R'nin ikinci dizinde çalıştığını unutmayın.

Bu nedenle, matris gösteriminde bu $ T \ rightarrow T '= RRT $ anlamına gelmez. Yanlış!

Doğru matris gösterimi $ T \ rightarrow T '= RTR ^ T $ şeklindedir.

Yazışmaları görmek zor olabilir ve endekslerde kaybolmak. Aracı $ D_ {bc} = R_ {b \ cR {d}} T_ {c \ cR {d}} $ kullanın (yukarıdakine benzer şekilde $ D = RT ^ T $ ) böylece $ R_ {a \ cR {c}} R_ {b \ cG {d}} T _ {\ cR {c} \ cG {d}} $ $ R_ {a \ cR {c}} D_ {b \ cR {c}} $ . Bu aynı zamanda D'nin ikinci dizinini de toplar, böylece $ RD ^ ​​T $ değerine eşittir. $ D: RD ^ ​​T = R (RT ^ T) ^ T = R (T ^ T) ^ T (R) ^ T = RTR ^ T değerini değiştirin. $

1. Rank 0'ın tüm tensörleri skaler olmasına rağmen, tüm skalarlar tensör değildir (aşağıya bakın).
2. Rank 1'in tüm tensörleri vektör olmasına rağmen, tüm vektörler tensör değildir (aşağıya bakın).
3. Seviye 2'nin tüm tensörleri matris olmasına rağmen, tüm matrisler tensör değildir.

3 için örnek: Matris M (m11 = x, m12 = -y, m21 = x ^ 2, m22 = -y ^ 2). Bu matris tensör rank 2 değildir. M matrisini rotasyon matrisine test edin.