Operatör olarak hem p hem de x operatörlerinin tam anlamıyla özvektörleri yoktur. Sadece kare şeklinde normalleştirilebilir dalga fonksiyonlarının uzayından daha büyük bir fonksiyon alanında tanımlanan dağılımsal özvektörlere sahiptirler ve sadece düzgün bir test fonksiyonu ile biraz lekelendiğinde anlamlı olduğu düşünülmelidir.

$ \ Langle \ psi_p | için normalleştirme \ psi_p \ rangle $ sonsuzdur, çünkü p-dalgası tüm uzaya yayılmıştır. Benzer şekilde, delta fonksiyonu dalga fonksiyonunun normalizasyonu, x operatörü özvektörü sonsuzdur, çünkü delta fonksiyonunun karesi sonsuz integrale sahiptir.

Paradoksunuzu $ | x \ rangle $ kullanarak belirtebilirsiniz. durum da:

$$ i \ hbar \ langle x | x \ rangle = \ langle x | (\ hat {x} \ hat {p} - \ hat {p} \ hat {x}) | x \ rangle = x \ langle x | \ hat {p} | x \ rangle - \ langle x | \ hat { p} | x \ rangle x = 0 $$

$ | x '\ rangle $ sadece biraz lekelendiğinde tanımlandığından, x'in iki oluşumu için bir seprate değişken kullanmanız gerekir. . Bu durumda tam matrisi yazın:

$$ i \ hbar \ langle x | y \ rangle = x \ langle x | \ hat {p} | y \ rangle - \ langle x | \ hat {p} | y \ rangle y = (xy) \ langle x | \ hat {p} | y \ rangle $$

Ve şimdi x ve y, bağımsız olarak bulaşabilen ayrı değişkenlerdir. gereklidir. P operatörünün matris öğeleri, bir delta fonksiyonunun türevidir:

$$ \ langle x | \ hat {p} | y \ rangle = -i \ hbar \ delta '(xy) $$

Elde ettiğiniz şey şu:

$$ (xy) \ delta '(xy) $$

Ve $ x = y $' ı safça ayarlayarak Delta fonksiyon faktörünün korkunç derecede tekil olduğunu ve bu nedenle sonucun daha dikkatli bir değerlendirme yapılmadan hatalı tanımlandığını fark etmeden ilk faktörü sıfıra çevirin. X ve y için düzgün test işlevleriyle çarparsanız, yanıtı biraz bozmak için:

$$ \ int f (x) g (y) (xy) \ delta '(xy) dx dy = \ int f (x) g (x) dx = \ int f (x) g (y) \ delta (xy) $$

İlk tanımlama, x'teki parçalara göre integral almaktan ve delta fonksiyonunun değerlendirilmesiyle ortadan kaybolan tüm terimleri sıfıra ayarlamaktan gelir. Sonuç şu

$$ (xy) \ delta '(xy) = \ delta (xy) $$

Ve sonuç sıfır değil, aslında ile tutarlı komütasyon ilişkisi. Bu delta fonksiyonu denklemi, Dirac'ın "Kuantum Mekaniğinin Prensipleri" nin ilk matematik bölümünde açıklama ile birlikte yer almaktadır.

Dağılımlarla yapılan biçimsel manipülasyonların bu kadar kolay paradokslara yol açması talihsizdir. İlişkili ancak farklı bir paradoks için, $ \ hat {x} \ hat {p} - \ hat {p} \ hat {x} $ izini düşünün.

Görünüşe göre Ron Maimon'un cevabından tamamen memnun değilsiniz, biraz farklı bir şekilde ifade edeceğim.

Sorun, türetmenizde gizli bir belirsizliğe sahip olmanız. $$ \ langle {\ psi} _p \ vert \ hat {x} \ vert \ psi_p \ rangle = \ infty \; \; \; \; \; \Sağ ok \;\;\;\;\; \ langle [\ hat {x}, \ hat {p}] \ rangle = ... = (pp) \ langleψ_p | \ hat {x} | ψ_p \ rangle = 0 \ cdot \ infty = \ text {herhangi bir sayı} $$ Sorun işlevlerde. Hem momentum operatörünün hem de koordinat operatörünün özfonksiyonları gerçekte fonksiyon değildir. Bütünleştirilebilir işlevler alanına ait değildirler ve bu nedenle onlarla onlarmış gibi özgürce çalışamazsınız. Bazen yapabilirsiniz, ancak bir noktada yaparsanız başınız belaya girer.

Eğer "uygun" bir işlevi alır ve hesaplamayı yaparsanız, hiçbir problem bulamazsınız. Örnek alalım $$ \ psi (x) = \ frac1 {\ sqrt {\ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} $$ Sonra $$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (x) x \ left (-i \ hbar \ frac {∂} {∂x} \ right) \ psi (x) dx = i \ hbar \ frac1 {\ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ 2 e ^ {x ^ 2} dx = i \ hbar \ frac1 {2 \ sqrt {\ pi}} $$$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (x) \ left (-i \ hbar \ frac {∂} {∂x} \ right) x \ psi (x) dx = i \ hbar \ frac1 {\ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left (x ^ 2- 1 \ right) e ^ {x ^ 2} dx = i \ hbar \ frac1 {2 \ sqrt {\ pi}} - i \ hbar $$ Fark, beklediğiniz şeydir.

$ \ psi_a (x) = \ frac1 {a} \ psi (x / a) $ alırsanız ve $ \ lim_ {a \ to0} \ psi_a (x) = \ delta ( x) = \ vert x \ rangle $ $ \ vert x \ rangle $ için bu paradoksun nasıl çözülebileceğine dair bir fikir edinecek ve çözümün $ 0 \ cdot \ infty $ ile başa çıkmanın doğru bir yolu olup olmadığını kontrol edeceksiniz. Paradoksunuzu çözmek için benzer bir numara kullanılabilir. Sınırı $ \ psi_p $ olan işlevler daha az uygundur.

Bence paradoks, $ \ hat {p} $ 'ın tam anlamıyla $ \ langle \ alpha | \ hat {p} | $ x $ temsilinde Hermitian operatörü olmaması gerçeğinden kaynaklanıyor.\ beta \ rangle \ neq \ langle \ beta | \ hat {p} | \ alpha \ rangle ^ * $ $ x $ temsilinde. Daha sonra $ \ hat {p} $, $ \ langle x | \ hat {p} | \ alpha \ rangle = -i \ hbar \ frac {\ kısmi} {\ partial x} \ langle x | eylemini yakından takip ediyoruz.\ alpha \ rangle $.

$$ \ langle x |\ hat {x} \ hat {p} - \ hat {p} \ hat {x} | x \ rangle = \ langle x |\ hat {x} \ hat {p} | x \ rangle - \ langle x |\ hat {p} \ hat {x} | x \ rangle = x \ langle x |\ hat {p} | x \ rangle + i \ hbar \ frac {\ kısmi} {\ kısmi x} \ langle x | \ hat {x} | x \ rangle $$ $$ = x (-i \ hbar) \ frac {\ kısmi} {\ kısmi x} \ delta (0) + i \ hbar \ frac {\ kısmi} {\ kısmi x} x \ delta (0) = i \hbar $$