Yazdığınız korelasyon işlevi, iki miktarın tamamen genel bir korelasyonudur, $$ \ langle f (X) g (Y) \ rangle $$ $ Y $ için $ x '$ sembolünü ve $ sembolünü kullanırsınız. X $ için x + x '$.

Ortam - vakum veya malzeme - çeviri açısından değişmez ise, bu, özelliklerinin genel çevirilere bağlı olmadığı anlamına gelir. Dolayısıyla, X $ ve Y $ 'ları aynı miktarda değiştirirseniz, ör. $ z $ ile, korelasyon işlevi değişmeyecek.

Sonuç olarak, $ z = -Y = -x '$ kadar kayabilirsiniz, bu da yeni $ Y $' ın sıfır olacağı anlamına gelir. Öyleyse $$ \ langle f (X) g (Y) \ rangle = \ langle f (XY) g (0) \ rangle = \ langle f (x) g (0) \ rangle $$ Gördüğünüz gibi, çeviri için simetrik sistemler, korelasyon işlevi yalnızca koordinatların farkına bağlıdır, yani sizin durumunuzda $ x $ 'a eşit olan $ f $ ve $ g $ argümanlarının ayrılması.

Yani bu olmalı $ x $ ve $ x $ '$' a olan bağımlılığı açıkladı.

Şimdi, ilişkilendirici nedir? Klasik olarak, $$ \ langle S \ rangle = \ int D \ phi \, \ rho (\ phi) S (\ phi) $$ olasılık dağılımına göre biraz ortalamadır Bu, $ S $ 'ın birkaç miktarın çarpımı olması için geçerlidir. ayrıca. İntegral, fiziksel sistemin tüm olası konfigürasyonlarının üzerinden geçer ve $ \ rho (\ phi) $, belirli $ \ phi $ konfigürasyonunun olasılık yoğunluğudur.

Kuantum mekaniğinde, korelasyon fonksiyonu beklentidir sistemin gerçek durumundaki değer - genellikle temel durum ve / veya termal durum. Saf bir temel durum için $$ \ langle \ hat {S} \ rangle = \ langle 0 | \ hat {S} | 0 \ rangle $$, burada 0-ket-vektörü temel durum iken, $ \ rho $ yoğunluk matrisi ile ifade edilen bir termal durum için, korelasyon fonksiyonu $$ \ langle \ hat {S} \ rangle = olarak tanımlanır \ mbox {Tr} \, (\ hat {S} \ hat {\ rho}) $$ Korelasyon fonksiyonları, $ f $ ve $ g $ fiziksel büyüklüklerinin iki noktada korelasyonunu bilen fonksiyonlardır. Korelasyon sıfır ise, iki miktar birbirinden bağımsız gibi görünür. Korelasyon pozitifse, iki miktar muhtemelen aynı işarete sahip gibi görünür; ne kadar olumlu olursa, o kadar çok ilişkili olurlar. Korelasyon işlevi negatifse, ters işaretlerle ilişkilendirilirler.

Kuantum alan teorisinde, iki operatörün korelasyon fonksiyonları - tıpkı sizin yazdığınız gibi - yayıcı olarak bilinir ve matematiksel ifadedir. Feynman diyagramlarının tüm iç satırlarını değiştirir. Karşılık gelen parçacığın $ x + x '$ noktasından $ x' $ noktasına yayılma olasılığının genliğinin ne olduğunu size söyler. Genellikle sadece ışık konisinin içinde sıfırdan farklıdır ve yalnızca koordinatların farkına bağlıdır.Bunun bir istisnası, QED'deki Feynman Yayıcısıdır. Işık konisinin dışında da sıfırdan farklıdır, ancak ışık konisinin dışındaki bu sıfır olmayan katkıyı iptal eden ve nedenselliği koruyan anti-parçacıkları çağırır.

Keyfi pozitif sayıda operatörü içeren korelasyon fonksiyonları, Parantezler arasında $ n $ miktarlarının çarpımı varsa Green fonksiyonları veya $ n $ -point fonksiyonları. Bir anlamda, $ n $ -point fonksiyonları fiziksel sistemi tanımlayan hesaplanabilir dinamik büyüklükler hakkında her şeyi bilir. Her şeyin korelasyon fonksiyonlarına genişletilebileceği gerçeği, Taylor açılımlarının sonsuz sayıda değişken durumuna yönelik bir genellemesidir.

Özellikle, $ n $ harici parçacıklar için saçılma genliği (gelen ve gidenler dahil toplam sayı) $ n $-noktası fonksiyonlarından hesaplanabilir. Daha önce bahsedilen Feynman diyagramları, bu hesaplamayı sistematik olarak yapmak için bir yöntemdir: karmaşık bir ilişkilendirici, 2 noktalı fonksiyonların bir fonksiyonu olarak yeniden yazılabilir, yayıcılar, etkileşim köşeleriyle daraltılmış.

Birçok kelime var çeşitli bağlamlarda bir korelasyon işlevini fiziksel olarak tanımlamak için - yanıt işlevleri vb. gibi. Buradaki fikir, $ x '$' a bir safsızlık veya sinyal eklemeniz, bu sizin $ g (x ') $ değerinizdir ve $ x + x noktasındaki $ f (x + x ') $ alanı, $ g (x') $ kirliliğinden etkilenir.

Korelasyon işlevleri için çok sezgisel bir örnek lazer benekleri metrolojisinde görülebilir.

Dalgaboyuna kıyasla pürüzlü bir yüzeye ışık tutarsanız, ortaya çıkan yansıyan sinyal bir şekilde rastgele olacaktır. Bu aynı zamanda bir sinyalin bir noktasından komşunun nasıl göründüğünü söyleyemeyeceğiniz olarak da ifade edilebilir - bunlar ilişkisizdir . Böyle bir alan genellikle benek deseni olarak adlandırılır.

Bu gerçek kullanılabilir. Böyle rastgele dağılmış bir alanın $ A (x, y) $ görüntüsünü, $$ (x, y) \ rightarrow (x + \ delta_x, y + \ delta_y) = (x ', y') ) $$ böylelikle $$ B (x, y) \ yaklaşık A (x ', y') $$

açıkça görünür olacak ve tüm bilgiler istatistiksel olduğundan, kişi şunu bulur:

$$ C (\ Delta_x, \ Delta_y) = \ int B (x, y) A (x + \ Delta_x, y + \ Delta_y) dx dy $$

yalnızca "büyük "tepeli bir formun $ (\ Delta_x, \ Delta_y) \ equiv (\ delta_x, \ delta_y) $ değerinde katkı. Zirvenin genişliği , aydınlatmanın bazı fiziksel özellikleri, yüzeyin pürüzlülüğü vb. Tarafından verilecektir - doğrudan alanın yerel varyasyonuna karşılık gelir.

Şimdi sahada bazı periyodik varyasyonlar olsaydı, $ C $ 'ın görüntünün (veya alanların) birkaç zirvesine sahip olacağını görebilirdik. kendine benzerlik .

Dolayısıyla, bir miktarın korelasyonunu analiz etmek size ne kadar hızlı değiştiği ve bir şekilde kendine benziyorsa size bilgi verecektir. daha pratik bir bakış açısından.

Saygılarımızla

Robert

Not: Goodman 'ın yaptığı tüm çok zengin işlerde daha fazlası bulunabilir.

Harika soru, Kostya. Lubos zaten QFT dilinde genel argümanlar kullanarak ayrıntılı bir cevap verdi.

Bununla birlikte, astrofizik ve kozmolojide korelasyon fonksiyonlarını her zaman kullanmamızın çok basit bir nedeni daha var. $ \ Langle f (\ vec {x}) \ rangle $ olarak gösterilen $ f (\ vec {x}) $ fonksiyonunun ortalama değerinin genellikle teorik model tarafından tahmin edilemediği ortaya çıktı (örneğin sıcak Büyük Enflasyon aşamasına erken sahip patlama modeli, geç zamanlarda soğuk karanlık madde, vb ... veya göz önünde bulundurmak istediğiniz başka bir model) - korelasyonu $ \ langle f (\ vec {x}) f (\ vec {y} ) \ rangle $ tahmin edilebilir . Burada $ f $ herhangi bir kozmolojik gözlemlenebilir miktarı ifade edebilir ve $ \ vec {x} $ ve $ \ vec {y} $, uzamsal koordinatları ifade edebilir.

En yaygın örnek, fazlalığı dikkate almak olacaktır. karanlık madde yoğunluğu, $ f (\ vec {x}) \ equiv \ delta \ rho (\ vec {x}) / \ rho $, burada $ \ rho $ ortalama yoğunluktur (birimleri metre küp başına kilogramdır örneğin) ve $ \ delta \ rho (\ vec {x}) $, $ \ vec {x} $ konumunda ve bağımsız değişkenin basitliği için belirtmeyeceğim bazı bölgelerde aşırı fazla veya düşük yoğunluktur . Tanımı gereği, $ f $ ortalaması sıfırdır, bu nedenle açıkça ortalamayla ilgilenmediğimizi belirtiriz (alternatif olarak, evrenin ortalama yoğunluğunu ilk ilkelerden kolayca alamayız). Ancak korelasyon fonksiyonu, $ \ langle \ delta \ rho (\ vec {x}) \ delta \ rho (\ vec {y}) / \ rho ^ 2 \ rangle $, özellikle evrenin temel parametreleriyle ilişkili olabilir. Enflasyon döneminin ayrıntıları, karanlık madde yoğunluğu, vb. Bunun ayrıntıları dahil edilir ve kozmoloji lisansüstü bir derste öğretilir. Teorinin, fonksiyonun ortalamasını (1 noktalı korelasyon fonksiyonu) değil, onun (eş) varyanslarını (2 noktalı korelasyon fonksiyonu) öngördüğünü söylemek yeterlidir.

Sezgisel olarak, $ \ delta \ rho / \ rho $ 'nın iki noktalı korelasyon fonksiyonu, $ \ vec {x} $ konumunda aşırı yoğun bir karanlık madde bölgesi verildiğinde, aşırı yoğun olma olasılığı ile ilgilidir. $ \ vec {y} $ "konumundaki bölge ve bu olasılık eski güzel yerçekimi yasası tarafından belirlenir - ve ilk ilkelerden tahmin edilebilir.

Teori aynı zamanda prensip olarak 3-noktayı da tahmin eder (örneğin $ \ langle f (\ vec {x}) f (\ vec {y}) f (\ vec {z}) \ rangle $ ve daha yüksek nokta korelasyon fonksiyonları, ancak bunların hem teorik olarak hesaplanması hem de gözlemsel olarak ölçülmesi daha zordur. Bununla birlikte, parçacık fiziğinde ve kozmolojide teorik olarak tahmin etme ve gözlemsel olarak ölçme konusunda gelişen bir alt alan vardır, bunlar yüksek dereceli korelasyon fonksiyonları olarak adlandırılır.

Tüm bunların son bileşenlerinden biri, korelasyon fonksiyonunun ölçülmesidir. Açısal ortalama işaret, $ \ langle \ cdot \ rangle $, sistemin farklı gerçekleştirmelerinin ortalamasını almamız gerektiğini belirtir - yani, evren - aynı temeldeki kozmolojik modelde . Ölçmek için yalnızca bir evrenimiz olduğu için bu açıkça imkansızdır! Bunun yerine, istatistiksel homojenlik varsayıyoruz (Lubos'un gönderisindeki dönüşümsel değişmezlik ile aynıdır). Ardından, farklı evrenler üzerinden ortalama almak yerine, kozmologlar ortalama $ f (\ vec {x}) f (\ vec {y}) $ o Evrenimizde $ | \ vec {x} - \ vec {y} | $ iki noktası arasında sabit bir mesafeye sahip farklı konumlar ($ \ vec {x}, \ vec {y} $). Bu şekilde, istatistiksel homojenlik varsayımını kullanarak, arzu ettiğimiz herhangi bir miktarın korelasyon fonksiyonunun iyi ölçümlerini alabiliriz.

Sezgisel olmasa da başka bir neden daha var. Stokastik bir süreç, neredeyse tamamen otomatik korelasyon işlevi ile karakterize edilir. Daha kesin olarak, eğer süreç durağan ise (tabii ki, tüm bu yöntemler sadece bir sürecin eğilimi azaltıldıktan ve tüm döngüler önce analiz edilip filtrelendikten sonra çalışır) ve Gaussian ve ortalanmışsa, o zaman tamamen otomatik korelasyon ile karakterize edilir. işlevi. Bu, normal bir rastgele değişkenin tamamen ortalama ve standart sapması ile karakterize edildiği gerçeğine benzer.

Ama bekleyin. Fazlası var. Süreç Gauss'lu olmasa bile, sadece iki noktalı korelasyon fonksiyonları olarak da adlandırılan normal otokorelasyonu bilmiyorsanız, aynı zamanda tüm yüksek oto korelasyonları da biliyorsanız, karakterize edilir. (yani, üç nokta, dört nokta vb.). Bu, (zor) "anlar problemi" ne benzer. (Akademik doktora şecere) atam Marcel Riesz ve İsveç'in alkolik dehası Carlman tarafından çözüldü, eğer rastgele bir değişkenin tüm anlarını biliyorsanız, denkliğe kadar belirlenir.

Ve pratikte, ölçüm için en erişilebilir olan korelasyonlardır. Aspect'in ünlü Bell eşitsizliği deneyleri de dahil olmak üzere parçacıklarla yapılan çoğu deney, korelasyon ölçümleridir. Muhtemelen bunun bazı derin felsefi önemi vardır ....