Bu sorunun kilit noktası, sezgisel olarak enerji korunumunun doğru işlemiyor gibi görünmesidir. Bir roket, kimyasal enerjiyi sabit bir hızda açığa çıkaran kimyasal bir reaksiyonla çalıştırılır. Peki, hızlı giderken sabit bir enerji salım hızı KE'de nasıl daha büyük bir artışa yol açabilir?

Bunu anlamak için, aynı prensiplerle çalışan, ancak analizi daha kolay olan bir "oyuncak model" roketi düşünmek faydalı olacaktır. Spesifik olarak, kütlesiz bir yaya (yakıt) bağlı 10 kg'lık bir top (roket) ve 1 kg'lık bir top (egzoz) düşünelim.

Bu yayın yeterli enerjiye sahip olduğunu ve roket başlangıçta hareketsizken onu 1 m / s'ye kadar itebileceğini ve momentumun korunmasıyla egzozun -10 m / s'ye itildiğini varsayalım. Tersine, roket 5 m / s'de başlarsa, yakıtı "yaktıktan" sonra roket 6 m / s'ye fırlatılır ve egzoz -5 m / s'de hareket eder.

Şimdi enerjiyi kontrol edelim. İlk durumda roketin KE'si 0 J'den 5 J'ye yükselirken, ikinci durumda 125 J'den 180 J'ye yükseldi. Yay her iki durumda da aynı miktarda enerji depolar, öyleyse neden KE artmaktadır? Düşük hızda 5 J ve yüksek hızda 55 J?

Egzozun içine giren enerjiyi hesaplamayı unuttuğumuza dikkat edin. Bu, bu tür analizlerin çoğunun temel hatasıdır. İlk durumda egzozun KE'si 0 J'den 50 J'ye yükselirken, ikinci durumda KE 12.5 J öncesi ve sonrası idi. Yani her iki durumda da KE'deki (hem roket hem de egzoz) toplam değişiklik 55 J idi.

Düşük hızlarda, yakıtın enerjisinin çoğu egzozun KE'sinde "boşa harcanır". Daha yüksek hızlarda daha fazlası rokete, daha az egzoza gider. Gerçek bir roket için aynı şey sürekli olarak gerçekleşir. Hem enerji hem de momentum korunur ve aslında sabit itme kuvveti altında hız arttıkça araca daha fazla güç iletilir.

Bunu görmenin birden fazla yolu var.

Bence en kolayı, kinetik enerjinin hızın karesiyle ölçeklenmesidir. $$ K = \ frac 12 m v ^ 2 $$

Roket iticisinin sabit bir ivme sağladığını varsayarsak, ilk ve son hızları karşılaştırdığımızda şunu buluruz: $$ \ Delta v = v_ \ text {son} -v_ \ text {init} = $$

Dolayısıyla, aynı süre için, başlangıç ​​hızının gerçekte ne olduğuna bakılmaksızın hızdaki değişiklik aynıdır. $ K $ cinsinden hıza karesel bir bağımlılığımız olduğundan, bu, daha büyük bir hız ile başlarsak kinetik enerjinin daha fazla artacağı anlamına gelir. yani $$ \ Delta K = \ frac 12 m v_ \ text {son} ^ 2- \ frac 12 m v_ \ text {init} ^ 2 = \ frac 12 m (v_ \ text {son} -v_ \ text {init} ) (v_ \ text {son} + v_ \ text {init}) = \ frac 12 m \, \ Delta v (\ Delta v + 2v_ \ text {init}) $$

Gördüğümüz gibi, $ \ Delta K $ ifadesindeki hızların toplamı, kinetik enerjide daha büyük bir değişime katkıda bulunan şeydir. Yapılan iş kinetik enerjideki değişime eşit olduğundan, daha büyük bir hızda başladığımızda roket daha fazla iş yapıyor olmalı.

Birincisi ile aynı olduğunu öne sürebileceğiniz, bunu görmenin ikinci yolu, işin tanımına bakmaktır. $$ W = \ int \ vec F \ cdot \ mathrm d \ vec x $$

Veya sabit bir kuvvetle tek bir boyutta $$ W = F \, \ Delta x $$

Şimdi, bir kez daha sabit bir ivme varsayarsak, biliyoruz ki $$ \ Delta x = \ frac 12 a t ^ 2 + v_ \ text {init} t $$

Böylece yapılan iş, $$ W = F \ left (\ frac 12 a t ^ 2 + v_ \ text {init} t \ right) $$

Bir kez daha, ilk hızın işi belirlediğini görüyoruz. Bundan nitel bir açıklama, hız daha büyük olduğunda, nesnenin aynı sürede daha fazla mesafe kat etmesidir. Dolayısıyla, kuvvetin uygulandığı zamana bakarsak, kuvvetin uygulandığı mesafe o kadar hızlı hareket ediyor demektir. Bu nedenle, nesne başlangıçta daha hızlı hareket ediyorsa daha fazla iş bitiririz.

Tüm bunların arkasındaki varsayılan sorun, aynı kuvveti aynı süre boyunca uygulayarak daha fazla enerji elde ediyormuşuz gibi görünüyor.Ancak üzerinde çalışırsanız, bunun hiç sorun olmadığını görürsünüz.Bu, Dünya yüzeyine yakın düşen nesneler için bile geçerlidir.Kuvvet sabit olsa bile, yerçekimi düşerken nesne üzerinde gittikçe daha fazla çalışır.Ya da başka bir deyişle, potansiyelden kinetik enerjiye enerji dönüşüm oranı, nesne düştükçe artar.

Her iki durumda da (sabit ve hızlı uçan), roket + itici sistemin toplam kinetik enerjisindeki değişiklik, bir saniyelik yanma sırasında açığa çıkan kimyasal enerjiye eşittir.Roket hareketsizse, itici yakıt hareketsiz durumdan geriye doğru hareket ederek kinetik enerjisini arttırır .Roket (çok) hızlı uçuyorsa, itici gaz ileri doğru hızlı hareket etmekten (roketle) daha yavaş ilerlemeye (arkada) geçerek kinetik enerjisini azaltır .Bu, ikinci durumda roketin kinetik enerjisinin neden daha fazla arttığını niteliksel olarak anlamak için yeterlidir.

Bu iki durum, bir Galile dönüşümü ile ilişkilidir (düzgün hareket eden referans çerçevesi seçimi).Tutarlılık, izole edilmiş herhangi bir sistem için (roket + itici yakıt gibi), bir zaman ile diğeri arasındaki toplam kinetik enerjideki değişim Galilean değişmezidir (aynı şekilde hareket eden herhangi bir referans çerçevesi için de geçerlidir).).