Şu anda Dünya'ya yakın uyduların yörüngeleri hakkında bir şeyler okuyorum ve gerçekte ne anlama geldiklerini anladığımdan emin olmadığım için bazı terimler etrafta dolaşıyor:
Earth'ün tekel momenti ve Earth'ün dört kutuplu moment?
Yukarıdaki terimlerin kolayca anlaşılan bazı açıklamaları nelerdir?
Bir sistemin tekeli (yerçekimi), temelde sistemin sahip olduğu kütle enerjisi miktarıdır.
Çift kutup, kütlenin bir merkezden uzağa nasıl dağıldığının bir ölçüsüdür.
Dört kutuplu moment, kütle dağılımının bir eksen boyunca ne kadar genişlediğini tanımlar. Kuadropol, bir küre için sıfırdır, ancak örneğin bir çubuk için sıfır değildir. Aynı zamanda Dünya için sıfır değildir, çünkü Dünya basık bir sferoiddir.
Bir dört kutupludan kaynaklanan yerçekimi katkısı, bir tekelinkinden daha hızlı düşer. (Potansiyelin katkısının $ r ^ {- 3} $ bağımlılığı nedeniyle Dünya'nın dört kutuplu anının uyduları incelemek için önemli olmasının nedeni budur ve gerçekten Ay'ı incelemek için değil)
Dört kutuplu ve diğer yüksek dereceli momentler GR'de önemlidir çünkü dağılımlarındaki değişiklik yerçekimi dalgaları üretebilir.
Örnek:
İki durumu ele alalım, her iki durumda da, büyük cisimler $ M $ kütleli ve küçük olan $ m $ kütleli ve küçük olan $ r $ mesafede simetri çizgisi üzerindedir.
Case 1: Dört kutuplu an yok.
Buradaki kuvvet basittir: $$ \ frac {GMm} {r ^ 2} $$.
Case 2: Sıfır olmayan dört kutuplu moment. (daha büyük küreler 2R $ bir mesafe ile ayrılır.)
Bu durumda kuvvet: $$ \ frac {2GMmr} {(r ^ 2 + R ^ 2) ^ {3/2}} $$
Bu, büyük $ r $ için, şu şekilde tahmin edilebilir (iki terimli seri genişletme): $$ F \ sim \ frac {2GMm} {r ^ 2} - \ frac {3GMmR ^ 2} {r ^ 4} $$
Buradaki tuhaf terim, sistemin dört kutuplu momentinden kaynaklanmaktadır. Daha uzağa gittikçe ($ r>>R $), kuvvet, $ F $ aşağı yukarı olur: $$ F \ sim \ frac {2GMm} {r ^ 2} $$
Bu nedenle, "dört kutuplu moment etkisi" mesafe ile düşer .
İğrenç MS Paint diyagramları için özür dileriz.
O başlangıç noktası etrafında bir $ \ rho (x, y, z) $ kütle dağılımına sahip olduğumuzu ve belirli bir noktada potansiyel enerji ve kuvveti hesaplamak istediğimizi düşünün. z ekseni üzerindeki P noktası. Potansiyel enerji, integral ile kolayca ifade edilebilir: $$ U = -GM \ int_ {V} \ frac {\ rho (x, y, z)} {R} dv $$ Ancak bu intgralin hesaplanması zor olabilir ve integrali bir dizi ile ifade etmek genellikle daha kolaydır, buna çok kutuplu genişleme denir ve elektrostatik kuvvet olarak hem yerçekimi kuvveti için yapılabilir.
Kosinüs kanunu nedeniyle, R'yi $ \ theta $ , $ r '$
Potansiyel enerji artık şu hale gelir: $$ U = \ frac {-GM} {r} \ int_ {V} \ rho dv + \ frac {-GM} {r ^ 2} \ int_ {V} r '\ cos (\ theta) \ rho dv + \ frac {-GM} {r ^ 3} \ int_ {V} r '^ 2 \ frac {3 \ cos ^ 2 (\ theta) -1} {2} \ rho dv + ... $$ Gördüğünüz gibi, her terimde r'nin gücü gittikçe küçülüyor. Genellikle bu ifadeyi şu şekilde yeniden yazarız: $$ U = -GM \ left (\ frac {C_0} {r} + \ frac {C_1} {r ^ 2} + \ frac {C ^ 2} {r ^ 3 } ... \ right) $$ $ C_0 $ tekel anı, $ C_1 $ dipol momenti, $ C_2 $ dört kutuplu an vb. @Hritik Narayan'a atıfta bulunduğum için bunlar kolayca yorumlanabilir.