Lubos Motl'un doğru cevabına ek olarak, Norton'un kubbesi ile ilgili birkaç yorum yapmak istiyorum:

1. Önce Norton'un kısa bir türevi hareket denklemi (7). $ S $ için (negatif olmayan) yay uzunluğunu $ r $ ve $ z $ için dikey yüksekliği $ h $ olarak adlandırmayı tercih ederim. Lubos Motl gibi, boyutsal nedenlerden ötürü bir orantı faktörü $ K $ ekleyeceğim, böylece Norton'un kubbesinin denklemi $$ \ tag {1} z ~ = ~ - \ frac {2K} {3g} s ^ {3 / 2}. $$ Burada $ (g / K) ^ 2 $ sabitinin uzunluk boyutu vardır. Denklem (1) sadece yeterince küçük (ancak sonlu) yay uzunlukları $ s \ geq 0 $ için geçerli olduğu varsayılır. Sürtünme olmadığı için, mekanik enerji korunumuna sahibiz $ ^ 1 $$$ \ tag {2} 0 ~ = ~ \ frac {E} {m} ~ = ~ \ frac {\ dot { s} ^ 2} {2} + gz. $$
   (2) 'nin ilk eşitliğinde, $$ \ tag {3} \ qquad s (t \! = \! 0) ~ başlangıç ​​koşullarını kullandık = ~ 0, \ qquad \ dot {s} (t \! = \! 0) ~ = ~ 0. $$ $ t \ mapsto s (t) $ 'ın iki kez türevlenebilir wrt olduğunu varsayıyoruz. time $ t \ geq 0 $. (Ayrıntılı olarak, $ t = 0 $ ilk anda, fonksiyonun sağdan iki kez farklı tek taraflı olduğunu varsayıyoruz.) Eşitlik. (2) wrt. time $ t $, $$ \ tag {4} \ dot {s} \ ddot {s} ~ \ stackrel {(2)} {=} ~ -g \ dot {z} sonucuna götürür. $$ Division'ın her iki tarafında eq. (4) $ \ dot {s} $ ile $ ^ 2 $$$ \ tag {5} \ ddot {s} ~ \ stackrel {(4)} {=} ~ -g \ frac {\ dot {z} verir } {\ dot {s}} ~ = ~ -g \ frac {dz} {ds} ~ \ stackrel {(1)} {=} ~ K \ sqrt {s} ~. $$ Denklemi (5) aranır -hareket denklemi için. Alternatif olarak, eq'leri birleştirmek. (1) ve (2) aşağıdaki birinci dereceden ODE $$ \ tag {6} \ dot {s} ~ \ stackrel {(1) + (2)} {=} ~ \ sqrt {\ frac {4K} değerini verir {3}} s ^ {\ frac {3} {4}}. $$

2. Norton'un başlangıç ​​değer problemi (IVP) $$ \ tag {7} \ ddot {s} (t) ~ = ~ K \ sqrt {s (t)}, \ qquad s (t \! = \! 0) ~ = ~ 0, \ qquad \ dot {s} (t \! = \! 0) ~ = ~ 0, \ qquad t ~ \ geq ~ 0. $$ IVP (7) iki çözüm koluna sahiptir $ ^ 3 $$$ \ tag {8} s (t) ~ = ~ \ frac {K ^ 2} {144} t ^ 4 \ qquad \ text {ve} \ qquad s (t) ~ = ~ 0 ~, $$ kolayca kontrol edilebileceği gibi. Klasik sistemin belirsizliğine yol açan ODE'nin (7) yerel benzersizliğine sahip olunmaması, matematiksel bir perspektiften, eq'deki $ \ sqrt {s} $ kareköküne kadar izlenebilir. . (7) $ s = 0 $ 'da Lipschitz sürekliliği başarısız olur.

3. Alternatif olarak, mekanik enerji korunumundan (6), IVP $$ \ tag {9} \ dot {s} (t) ~ = ~ \ sqrt {\ frac {4K} {3}} s (t) ^ {\ frac {3} {4}}, \ qquad s (t \! = \! 0) ~ = ~ 0, \ qquad t ~ \ geq ~ 0. $$ Şaşırtıcı olmayan bir şekilde, IVP (9) aynı iki çözüm koluna (8) sahiptir ve bu nedenle, yerel benzersizlik.

-

$ ^ 1 $ Nokta parçacığının sürtünme olmadan kaymakta olduğunu hayal ediyorum. (Norton'un şeklindeki yuvarlanan top biraz yanıltıcıdır ve muhtemelen yalnızca açıklama amaçlıdır.). Daha eksiksiz bir türetme, nokta parçacığının kıyametle temasını kaybetmediğini kontrol eder. Böyle bir analizden kaçınmak istenirse, basitlik için kubbenin iki taraflı bir kısıtlama olduğu varsayılabilir.

$ ^ 2 $ $ \ dot {s} $ ile bölme yalnızca $ \ dot {s} \ neq 0 $ ise geçerlidir. Şimdi $ E = 0 $ mekanik enerjisinin sıfır olduğunu hatırlayın. $ \ Nokta {s} = 0 $ ise $ z = 0 $ ve dolayısıyla $ s = 0 $ sıfır olmalıdır, cf. eqs. (1) ve (2). Dolayısıyla sıfıra bölme sorunu kubbenin ucuyla sınırlıdır. Sonuçta, $ \ dot {s} = 0 $ dalının, eq'e dahil edilmemiş yeni çözümlere yol açmadığı ortaya çıktı. (8) ne de Norton'un IVP'sini (7) değiştirmez.

$ ^ 3 $ Negatif olmayan zamanlar için tanımlanan her $ s $ çözümü için $ t \ geq 0 $, kolaylık sağlamak için basit bir şekilde $ s (t<0): = 0 $ negatif zamanlar için uzatalım $ t<0 $. Sonra bir $ t \ mapsto s (t) $ çözümünü geleceğe çevirirsek, bazı $ T \ geq 0 $ moduli parametresi için başka bir $ t \ mapsto s (t-T) $ çözümü elde ederiz. Bu nedenle, kesinlikle konuşursak, eq'deki ilk dal. (8) $ T \ geq 0 $ moduli parametresiyle 1 parametreli bir çözüm üretir. Yani aslında IVP'nin (7) sonsuz birçok çözümü var! İkinci önemsiz çözüm dalının (8), ilk çözüm dalının (8) $ T \ ila \ infty $ moduli sınırı olarak görülebileceğini unutmayın.

Denklemlerin boyutsal analiz testini geçmediğini fark edebilirsiniz. Bazı faktörler eksik.

Bununla birlikte, sorunuzu cevaplayayım:

İvmenin asla $ g $ 'ı geçmemesinin nedeni, kubbenin aslında sonlu olmasıdır, altta kesilmiş. $ R $ 'ın çok yüksek değerleri için, $ h (r) $ için başlangıç ​​formülünüz aslında $ r $' ın kendisini aşacaktır ve zirvenin altında, başlangıçtaki toplam uzunluktan "daha derin" olan noktaları bulamayacaksınız. kubbe boyunca zirve. Aslında, kubbe bundan daha önce kesilmiştir.

Bkz. Sorunun bu sunumu. Norton'un amacının, "Newton klasik fiziğinde indeterminizmin bir örneği" olarak adlandırdığı $ h = 0 $ ve $ r = 0 $ yakınlarındaki davranışı incelemek olduğunu unutmayın, çünkü parçacık herhangi bir süre boyunca tepede ve birdenbire özgürce oturabilir karar verin ve başlayın. Bu yüzden kubbenin kesilmesi önemli değil.

Norton'un kubbesi ve kuantum fiziğindeki zararsızlığı hakkında daha genel yorumlarım burada.

İçinde bu makalede, ayrıca kubbenin $ dh / dr = 1 $ olduğu noktada sona ermesi gerektiğini hesapladım çünkü bu, $ r _ {\ rm max} = (9/4) g ^ 2 = anlamına gelen bir açının sinüsüdür. h _ {\ rm maks} $; Formülleri boyutsal olarak doğru yapmak için ek bir $ K $ katsayısı da kullanıyorum.

Kubbe denklemi, pek çok kötü davranışı gizleyen yay uzunluğu ve yüksekliği cinsinden ifade edilir. Luboš'un da belirttiği gibi, belirli bir noktanın ötesinde artık fiziksel değil, bu yüzden onu bundan önce sınırlamamız gerekiyor.

Aslında bunun için çizilebilen Kartezyen denklemini çözebilirsiniz:

Yine de uygulanması gereken tek kısıtlama bu değil. Kubbe eğrisinin analitik olmayan doğası nedeniyle (birinci türevin ötesinde tepede ayırt edilemez) birden fazla çözümü kabul ettiği söyleniyor. Aslında, $ v = 0 $ sınırında $ v $ hızıyla tepeye ulaşan veya çıkan bir parçacığın yörüngesini temsil eden diğer çözümü kolayca anlamamızı sağlayan kareköktür.

Norton diğer çözümünü Newtoncu olarak göstermeye çalışıyor ama aslında değil (zirvede, zaten). Yine de bu, determinizm iddiasının kaynağı değil. Bu, rastgele bir zamanda T farklı başlangıç ​​koşullarına sahip iki çözümü bir araya getirmesinden geliyor. Bu hiç mantıklı değil ve fiziksel bir gerekçesi yok.

Burada Norton kubbesinin neden Newton mekaniğinin deterministik olmadığını kanıtlamadığının ayrıntılı bir analizini yazdım.