Bir Hilbert uzayının tanımını anlıyorum. Ama değişmesizliğin bizi neden Hilbert uzaylarını kullanmaya zorladığını anlamıyorum.

Öyle değil, ama Scrinzi'nin söylediği bu değil.

Sebep şu ki bunun nedeni, örneğin, Wigner quasiprobability gösteriminde çalışabilmemizdir: $$ \ rho \ mapsto W (x, p) = \ frac {1} {\ pi \ hbar} \ int_ {- \ infty} ^ \ infty \ langle x + x '| \ rho | x-x' \ rangle e ^ {- 2ipx '/ \ hbar} \, \ mathrm {d} x' \ text {,} $$ burada saf durumlar için her zamanki gibi $ \ rho = | \ psi \ rangle \ langle \ psi | $ ve Hermitian operatörleri ters Weyl dönüşümü yoluyla fonksiyonlara karşılık gelir.

$ W (x, p) $, negatif olmasına izin verilmesi dışında , faz uzayı üzerindeki birleşik olasılık dağılımına benzeyen gerçek bir fonksiyondur. Belirsizlik ilkesi bir şeyden vazgeçmemizi gerektirir, ancak aslında Hilbert'i bize boşluk bırakmaya zorlamaz.

Ancak , Scrinzi'nin söylediği iki şeydir: (a) Hilbert kuantum mekaniğinde uzaylar bizim için çok uygundur ve (b) Hilbert uzayları klasik mekanikte kullanılabilir, ancak klasik mekanikte değişmezlik olmadığı için, orada "aşırı", oysa "sadece doğru miktarda kuantum mekaniğinde öldürmek. Her iki iddia da doğrudur.

Hilbert uzaylarını klasik mekanikte kullanmış olmamızın nedeni, gözlemlenebilirlerin çok genel cebirlerini temsil edebilmeleridir, oysa klasik gözlemlenebilir cebirinin değişmeli olması aslında daha basittir. (Özellikle $ C ^ * $ - cebirler için Gel'fand – Naimark teoremine bakın.)

Klasik mekaniğin Hilbert uzayı formülasyonu Koopman tarafından yapılmıştır. ve von Neumann, 1931-1932. Ancak formülasyonlarının gerçekte yaptığı şey, klasik mekaniği , yalnızca karşılıklı değişmeli bir kümede gözlemlenebilirleri ölçmenize izin verilen yapay bir kısıtlama dayatmadıkça; ancak o zaman klasik (19. yüzyıl anlamında) mekanik tam olarak iyileşir.

Kuantum mekaniğinin kaldırdığı yapay kısıtlamadır. Fiziksel olarak, değişmezlik gözlemlenebilirleri, aralarında bir belirsizlik ilkesine karşılık gelir.

Kuantum Mekaniğinin matematiksel çerçevesine genel ve kısa bir bakış için bu yanıta bakın. Özetle, Hilbert uzayları, bir kuantum teorisini tanımlayan ilgili matematiksel nesne olarak kabul edilen C * -algebraların temsil teorisinden ortaya çıkar (çünkü kendi kendine eşlenik kısmında gözlemlenebilirler içerir ve onun özel unsurları olarak belirtir. topolojik ikili).

Değişimsizliği daha fazla motive etmek için aşağıdaki gerçekleri göz önünde bulundurun. Birincisi, Gelfand ve Naimark teoremine göre herhangi bir değişmeli (ünital) C *-cebirinin, $ C (X) $ 'a izomorfik olmasıdır, yani kompakt Hausdorff uzayı $ X $ üzerinde sürekli fonksiyonların C * -algebra, tek tip norm ile. Böylesi bir topolojik uzay daha sonra klasik Hamilton mekaniğinin olağan faz uzayı olarak yorumlanabilir.

Heisenberg'in belirsizlik ilkesinden daha derin bir motivasyon kaynaklanır. İki uyumsuz gözlemlenebilir değeriniz varsa (yani, sonuçlarını karşılıklı olarak etkileyen ölçümler), o zaman keyfi bir hassasiyetle aynı anda ölçülemeyecekleri bilinmektedir ve bunu yeniden üretmenin bir yolu, bu tür gözlemlenebilirlerin, mesela $ A $ ve $ olduğunu varsaymaktır. B $, başka bir (muhtemelen genelleştirilmiş) gözlemlenebilir $ C $ için $$ AB - BA = \ frac {i \ hbar} 2C, $$ ilişkisini sağlayın.

Bir başka saf kuantum fenomeni, çift yarık deneyinde yaşananlar gibi girişimdir ve bu, gözlenebilirlerin C *-cebiri değişmeli ise bu asla gerçekleşmez. Bu nedenle, en az 2 boyutlu bir süper seçim sektörü ve dolayısıyla kuantum mekanik sistemin C *-cebirinin 1 boyutlu olmayan indirgenemez bir temsili olmalıdır. Durum böyle değilse, indirgenemez ve dolayısıyla hipotezle 1 boyutlu olan saf hallerden tüm GNS temsillerinin doğrudan toplamı alınabilir. Böyle bir temsilin görüntüsü sadıktır ve açıkça değişkendir ve bu, C *-cebirinin kendisini de değişmeli olmaya zorlar (bir C *-cebirinin, ancak ve ancak indirgenemez temsillerinin 1 boyutlu olması durumunda değişmeli olduğunu hatırlayın). Yani klasik mekanik için ilgili Hilbert uzayı sadece $ \ mathbb C $ iken, kuantum mekaniği için en az $ \ mathbb C ^ 2 $ ve $ 2 \ times2 $ matrices $ M_2 (\ mathbb C) 'nin indirgenemez kapalı bir alt cebirine ihtiyaç vardır. $.

Bunun nedenlerinden biri, konum ($ x $) ve momentum ($ p $) sonlu boyutlu bir uzayda operatörler olsaydı, onların komütatörleri $ [x, p] $ her zaman iz sıfıra sahip olurdu. Yani, Heisenberg ilişkisine sahip olmak için sonsuz boyutlu uzayda (sınırsız) operatörlere ihtiyacımız var. :)